Serie Numeriche e di potenze; equazioni differenziali ordinarie; curve nel piano e nello spazio; funzioni di più variabili: calcolo differenziale, ottimizzazione, integrali doppi. Integrali curvilinei
Contenuto del corso - Cognomi L-Z
contenuti: Serie Numeriche e di potenze; equazioni differenziali ordinarie; curve nel piano e nello spazio; funzioni di più variabili: calcolo differenziale, ottimizzazione, integrali doppi e integrali curvilinei.
Bramanti-Pagani-Salsa, MATEMATICA (Calcolo infinitesimale e Algebra Lineare) + relativo volume di esercizi, Salsa-Squellati 2 vol.
Obiettivi Formativi - Cognomi A-K
Saper applicare risultati teorici a situazioni pratiche. In particolare: maneggiare serie numeriche e di potenze. Determinare massimi e minimi di funzioni di due o più variabili. Maneggiare curve nel piano e nello spazio, calcolandone la lunghezza e integrali curvilinei. Calcolo di semplici integrali doppi, aree e volumi.
Obiettivi Formativi - Cognomi L-Z
obiettivi: Saper applicare risultati teorici a situazioni pratiche. In particolare:
Maneggiare serie numeriche e di potenze. Determinare massimi e minimi di funzioni di due o più variabili. Maneggiare curve nel piano e nello spazio, calcolandone la lunghezza e integrali curvilinei. Calcolo integrali doppi (e tripli), aree e volumi.
Prerequisiti - Cognomi A-K
Matematica I
Prerequisiti - Cognomi L-Z
Matematica 1
Metodi Didattici - Cognomi A-K
Lezioni frontali ed esercitazioni (sia in autonomia che collettive).
Metodi Didattici - Cognomi L-Z
Lezioni frontali ed esercitazioni sia in autonomia che collettive
Altre Informazioni - Cognomi A-K
Altri testi consigliati:
Altre Informazioni - Cognomi L-Z
Altri testi consigliati: Fusco-Marcellini-Sbordone, ANALISI MATEMATICA 2 + relativi volumi di esercizi
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-K
Esame finale scritto con parte di esercizi e parte teorica. Possono essere previste delle prove in itinere.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi L-Z
Esame finale scritto con parte di esercizi e parte teorica. Possono essere previste delle prove in itinere.
Programma del corso - Cognomi A-K
1. Serie. Serie numeriche. Definizione di carattere di una serie. Condizione necessaria per la convergenza (dim.). Serie a termini non-negativi. Criteri di convergenza per serie a termini non-negativi: confronto (con dim.), confronto asintotico (con dim.), rapporto, radice, integrale. Assoluta convergenza. Criterio di Leibniz per serie a termini di segno alterno. Serie di funzioni (cenni, convergenza totale). Serie di potenze: raggio di convergenza, serie di Taylor, funzioni analitiche.
2. Equazioni differenziali. Introduzione: il modello di Malthus per la crescita di una popolazione isolata. Nozione di equazione differenziale. Equazioni differenziali del primo ordine, problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili. Equazioni del primo ordine lineari: formula risolutiva (con dim.). Equazioni di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Struttura dello spazio delle soluzioni. Individuazione di una base dello spazio delle soluzioni e formula risolutiva per equazioni omogenee a coefficienti costanti (con dim. in caso equazione associata con discriminante positivo). Caso non omogeneo: ricerca di una soluzione particolare per somiglianza. Il problema di Cauchy per equazioni lineari del secondo ordine.
3. Curve Piane Curve nel piano (cenni a curve nello spazio). Curve rettificabili e curve regolari. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Equazione polare di una curva piana. Integrali curvilinei di prima specie.
4. Calcolo differenziale per funzioni di piu` variabili. Richiami sullo spazio euclideo n-dimensionale. Sottoinsiemi aperti e chiusi. Funzioni di piu` variabili; insieme di definizione; grafico. Limiti e loro propriet`a di base. Continuit`a e teoremi base. Derivate parziali. Differenziabilit`a. Relazione tra differenziabilità e continuità (con dim.). Equazione del piano tangente al grafico di una funzione di due variabili. Derivate direzionali: definizione e formula per il calcolo di una derivata direzionale tramite il gradiente per funzioni differenziabili. Teorema di Schwarz per le derivate seconde miste.
5. Ottimizzazione. Definizione di punto di massimo e minimo, assoluto e relativo per funzioni di piu' variabili. Punti critici, condizione necessaria sul gradiente (con dim.). Condizioni necessarie e sufficienti sulla matrice Hessiana in corrispondenza dei punti critici (dim. della condizione necessa- ria). Ricerca di massimi e minimi assoluti in insiemi compatti per funzioni di due variabili. Vincoli regolari nel piano e ricerca di estremi su curve. Moltiplicatori di Lagrange.
6. Integrali doppi. Definizione di integrale di una funzione di due variabili su un rettangolo e relative formule di riduzione. Definizione di integrale su un dominio qualsiasi e area di domini piani. Propriet`a degli integrali di funzioni di due variabili. Domini normali del piano: formula di riduzione, area di un dominio normale. Formula per il cambio di variabili. Coordinate polari. Uso delle coordinate polari negli integrali doppi. Campi vettoriali e integrali curvlinei di seconda specie (lavoro). Campi conservativi. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza e formula di Stokes (con dim. a partire da formule di Green). Formula per calcolo di area di domini piani tramite integrale curvilineo (dim. tramite formule di Green).
Programma del corso - Cognomi L-Z
Questo è il programma preventivo. Per il programma effettivamente svolto, farà fede il registro delle lezioni su moodle.
1. Serie. Serie numeriche. Definizione di carattere di una serie. Condizione necessaria per la convergenza (dim.). Serie a termini non-negativi. Criteri di convergenza per serie a termini non-negativi: confronto (con dim.), confronto asintotico (con dim.), rapporto, radice, integrale. Assoluta convergenza. Criterio di Leibniz per serie a termini di segno alterno. Serie di funzioni (cenni, convergenza totale). Serie di potenze: raggio di convergenza, serie di Taylor, funzioni analitiche.
2. Equazioni differenziali. Introduzione: il modello di Malthus per la crescita di una popolazione isolata. Nozione di equazione differenziale. Equazioni differenziali del primo ordine, problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili. Equazioni del primo ordine lineari: formula risolutiva (con dim.). Equazioni di Bernoulli. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Struttura dello spazio delle soluzioni. Individuazione di una base dello spazio delle soluzioni e formula risolutiva per equazioni omogenee a coefficienti costanti (con dim. in caso equazione associata con discriminante positivo). Caso non omogeneo: ricerca di una soluzione particolare per somiglianza. Il problema di Cauchy per equazioni lineari del secondo ordine.
3. Curve Piane Curve nel piano (cenni a curve nello spazio). Curve rettificabili e curve regolari. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea. Equazione polare di una curva piana. Integrali curvilinei di prima specie.
4. Calcolo differenziale per funzioni di piu` variabili. Richiami sullo spazio euclideo n-dimensionale. Sottoinsiemi aperti e chiusi. Funzioni di piu` variabili; insieme di definizione; grafico. Limiti e loro propriet`a di base. Continuit`a e teoremi base. Derivate parziali. Differenziabilit`a. Relazione tra differenziabilità e continuità (con dim.). Equazione del piano tangente al grafico di una funzione di due variabili. Derivate direzionali: definizione e formula per il calcolo di una derivata direzionale tramite il gradiente per funzioni differenziabili. Teorema di Schwarz per le derivate seconde miste.
5. Ottimizzazione. Definizione di punto di massimo e minimo, assoluto e relativo per funzioni di piu’ variabili. Punti critici, condizione necessaria sul gradiente (con dim.). Condizioni necessarie e sufficienti sulla matrice Hessiana in corrispondenza dei punti critici (dim. della condizione necessa- ria). Ricerca di massimi e minimi assoluti in insiemi compatti per funzioni di due variabili. Vincoli regolari nel piano e ricerca di estremi su curve. Moltiplicatori di Lagrange.
6. Integrali doppi. Definizione di integrale di una funzione di due variabili su un rettangolo e relative formule di riduzione. Definizione di integrale su un dominio qualsiasi e area di domini piani. Propriet`a degli integrali di funzioni di due variabili. Domini normali del piano: formula di riduzione, area di un dominio normale. Formula per il cambio di variabili. Coordinate polari. Uso delle coordinate polari negli integrali doppi. Campi vettoriali e integrali curvlinei di seconda specie (lavoro). Campi conservativi. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza e formula di Stokes (con dim. a partire da formule di Green). Formula per calcolo di area di domini piani tramite integrale curvilineo (dim. tramite formule di Green).